Sawicki urodził się w 1915 roku w Kijowie. W żyłach miał krew rosyjską, polską i żydowską. W rodzinie byli prawosławni hierarchowie, wysocy wojskowi, prawnicy, uczeni. Dziećmi zajmowały się francuskie guwernantki.
Po śmierci dziadka, slawisty i bizantynologa Timofieja Fłorińskiego, który został rozstrzelany przez bolszewików, rodzina przeniosła się do Moskwy. W stolicy nie było bezpieczniej. Obcego klasowo pochodzenia nie dało się skryć. Jeden z wujów Igora został aresztowany i słuch po nim zaginął, krewni ze strony matki musieli emigrować. Już w latach trzydziestych zatrzymano raz samego Igora. Na Łubiance ciężko go pobito, ale potem wypuszczono.
Igor od dziecka rysował i po podstawówce uczył się w różnych miejscach malarstwa i grafiki. Równocześnie, aby zacieśnić więzy z klasą robotniczą, zdobył fach elektryka instalatora. W końcu udało mu się dostać do Moskiewskiego Instytutu Artystycznego imienia Surikowa. Był rok 1941 i właśnie zaczęła się wojna niemiecko-sowiecka, ale nie trafił na front, uratowało go wątłe zdrowie. Wraz z uczelnią ewakuowano go do Samarkandy (kiedy Niemcy podeszli pod Moskwę i Leningrad, wiele fabryk, a także szkół wyższych i teatrów przeniesiono dalej na wschód – w Taszkencie znalazła się w tamtym czasie wielka poetka Anna Achmatowa). W ciągu dwóch lat poznał elitę artystyczną Uzbekistanu.
Po wojnie na krótko przyjechał do Moskwy, obronił dyplom, ale przy pierwszej okazji wrócił do Azji Centralnej. W odległej republice, na pustyni i w stepie, czuł się swobodniej niż w metropolii. Zachwycił go też uzbecki krajobraz i tamtejsze kolory – kolekcjoner zwycięży w nim malarza dopiero później. Przez siedem lat był dokumentalistą stałej ekspedycji archeologiczno-etnograficznej Akademii Nauk ZSRR: sporządzał szkice i rzuty starożytnych twierdz, odrysowywał ozdoby, naczynia, wzory. Potem pracował w nukuskim instytucie badawczym. Zajmował się miejscową sztuką ludową. A w roku 1966 doprowadził do powstania w Nukusie muzeum i został jego szefem. Przywódców sowieckiej Karakałpacji, republiki autonomicznej w zachodnim Uzbekistanie (Nukus był jej stolicą) przekonał, że placówka podniesie prestiż regionu i dowartościuje mały naród.
Muzeum
Karakałpacy są bliżsi Kazachom niż Uzbekom, a region graniczy z Kazachstanem – ale sowiecka polityka „dziel i rządź" i tu odcisnęła ślad. Sawicki był jednym z pierwszych, który zbierał i opisywał karakałpacką sztukę: biżuterię, dywany, snycerkę. Za rzeczy, które znajdował po kiszłakach i koczowiskach, płacił często z własnej kieszeni. Do muzeum ściągał także eksponaty z wykopalisk – na terenie Karakałpacji znajdowała się stolica starożytnego państwa Chorezm. Ale kolekcję zdominowały malarstwo i rzeźba. Początkowo były to prace współczesnych artystów karakałpackich i uzbeckich, z czasem pojawiła się rosyjska awangarda z lat dwudziestych i trzydziestych.
Sawicki, który sam już nie malował – zbyt poważnie traktował sztukę, by uprawiać ją po godzinach – sięgnął po dzieła niesłuszne ideologicznie. Obrazy kłujące w oczy w galeriach Moskwy, Leningradu, Kijowa, a nawet Taszkentu w Nukusie przechodziły, tu cenzura nie była tak czujna (odstępców od obowiązującego w Związku Radzieckim socrealizmu – realizmu socjalistycznego – oskarżano o formalizm, co wiązało się zwykle z wyrzuceniem ze związku artystów, odebraniem stypendium, pozbawieniem etatu).